【完全版】図形の性質ノートの答え｜途中式と重要定理の解法を徹底解説！

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生徒がつまずく最初の大きな関門が、チェバの定理とメネラウスの定理の違いと使い分けです。両者の違いを明確に把握できていないと、比の立式で頂点をたどる順番を誤り、計算結果が狂ってしまいます。

チェバの定理とメネラウスの定理の見分け方と途中式

両定理の本質的な違いは、「三角形の頂点を通る3本の直線が1点で交わっているか」、それとも「三角形と1本の直線（切断線）が交わっているか」という構造にあります。

• チェバの定理（三角形の内部で1点結合）：三角形ABCの各頂点から対辺（またはその延長）に引いた3直線が1点Oで交わるとき、頂点から「頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点」の順で一筆書きに比を掛けると積が1になります。
  数式：$\frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1$
• メネラウスの定理（三角形を切断線が横断）：三角形ABCと、その頂点を通らない1本の直線が直線BC, CA, ABと交わるときに適用します。「頂点→分点→分点→頂点」のリズムを崩さず、外分点の位置（三角形の外側へ一度出るルート）を正確に追うことが計算ミスの防止策です。

教科書傍用問題集の基礎問題では、辺の長さが一部文字（$x$など）で与えられ、$x$の値を求める形式が頻出します。途中式を書く際は、必ず「どの三角形とどの直線において定理を適用したか」を明記する習慣をつけてください。

三角形の外心・内心・重心の求め方と性質

三角形の「五心」のうち、定期テストで配点が高い外心・内心・重心の性質は下表の通り明確に整理できます。

• 外心（外接円の中心）：3辺の垂直二等分線の交点。外心から3頂点までの距離はすべて等しい（外接円の半径 $R$）。
• 内心（内接円の中心）：3つの内角の二等分線の交点。内心から3辺に下ろした垂線の長さ（距離）はすべて等しい（内接円の半径 $r$）。角の二等分線定理（$AB:AC = BD:DC$）との連動出題が極めて多いのが特徴です。
• 重心（バランスの中心）：3本の中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線）の交点。重心は各中線を$2:1$に内分します。