余因子の求め方を徹底解説！符号のルールから3次4次展開と逆行列まで

今注目を集めている 余因子の求め方を徹底解説！符号のルールから3次4次展開と逆行列までについて、主要な情報を整理して公開しています。

具体的な数値を用いて、3次正方行列および4次正方行列における余因子の求め方を段階的に確認していきましょう。

3次正方行列の余因子計算

次のような3次正方行列 $A$ を例題とします。

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} $$

この行列から、いくつかの代表的な成分の余因子を求めてみます。

【例1】成分 $a_{11} = 1$ の余因子 $\tilde{a}_{11}$
第1行と第1列を取り除くと、残る2次正方行列は $\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$ です。
符号は $(-1)^{1+1} = +1$ なので、
$$\tilde{a}_{11} = + \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = +(4 \times 6 - 5 \times 0) = 24$$

【例2】成分 $a_{12} = 2$ の余因子 $\tilde{a}_{12}$
第1行と第2列を取り除くと、残る2次正方行列は $\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$ です。
符号は $(-1)^{1+2} = -1$ なので、
$$\tilde{a}_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = -(0 \times 6 - 5 \times 1) = -(-5) = 5$$

【例3】成分 $a_{23} = 5$ の余因子 $\tilde{a}_{23}$
第2行と第3列を取り除くと、残る2次正方行列は $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ です。
符号は $(-1)^{2+3} = -1$ なので、
$$\tilde{a}_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(1 \times 0 - 2 \times 1) = -(-2) = 2$$

このように、「指定行・列の削除 → 残りの小行列式の計算 → 市松模様による符号の付与」という3手順を忠実に守れば、3次正方行列の余因子計算で迷うことはありません。

4次正方行列の余因子計算

4次正方行列 $B$ における余因子の計算も原理は同一ですが、取り除いた後に残る小行列が「3次正方行列」になる点が異なります。

$$ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

成分 $b_{14} = 3$ の余因子 $\tilde{b}_{14}$ を求める場合：
第1行と第4列を取り除くと、残る小行列は次の3次正方行列です。
$$M_{14} = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix}$$

この3次小行列式をサラスの公式などで計算します：
$$M_{14} = [(-1) \times 2 \times 1 + 1 \times 1 \times 0 + 0 \times 3 \times 4] - [0 \times 2 \times 0 + (-1) \times 1 \times 4 + 1 \times 3 \times 1]$$
$$M_{14} = [-2 + 0 + 0] - [0 - 4 + 3] = -2 - (-1) = -1$$

成分 $b_{14}$ の符号係数は $(-1)^{1+4} = -1$（奇数）であるため、
$$\tilde{b}_{14} = (-1) \times M_{14} = (-1) \times (-1) = 1$$

4次の余因子を求める際は、小行列式自体が3次行列式となるため計算量が格段に増えます。符号判定の段階でマイナスを忘れたり、小行列式の展開で符号を間違えたりするリスクが跳ね上がるため、途中式を省略せずに書き出すことが鉄則です。